Загальне формулювання: Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку, довільно вибрану замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні електричному заряду.
У системі СДСЕ:
У системі СІ:
- Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню.
- Повний заряд, що міститься в об'ємі, який обмежує поверхню.
- Електрична постійна.
Даний вираз є теоремою Гауса в інтегральній формі.
У диференціальній формі теорема Гауса відповідає одному з рівнянь Максвелла і виражається так
у системі СІ:
,
у системі СДСЕ:
Тут об'ємна щільність заряду (у разі присутності середовища сумарна щільність вільних і пов'язаних зарядів), а оператор набла.
Для теореми Гауса справедлив принцип суперпозиції, тобто потік вектора напруженості через поверхню не залежить від розподілу заряду всередині поверхні.
Фізичною основою теореми Гауса є закон Кулона або, інакше, теорема Гауса є інтегральним формулюванням закону Кулона.
Теорема Гауса для електричної індукції (електричне усунення).
Для поля в речовині електростатична теорема Гауса може бути записана інакше через потік вектора електричного зміщення (електричної індукції). При цьому формулювання теореми виглядає наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні вільному електричному заряду:
Якщо ж розглядати теорему для напруженості поля в речовині, то як заряд Q необхідно брати суму вільного заряду, що знаходиться всередині поверхні і поляризаційного (індукованого, пов'язаного) заряду діелектрика:
,
де 
,
- Вектор поляризації діелектрика.
Теорема Гауса для магнітної індукції
Потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю:
.
Це еквівалентно з того що у природі немає «магнітних зарядів» (монополів), які створювали б магнітне полі, як електричні заряди створюють електричне полі. Іншими словами, теорема Гауса для магнітної індукції показує, що магнітне поле є вихровим.
Застосування теореми Гауса
Для обчислення електромагнітних полів використовуються такі величини:
Об'ємна щільність заряду (див. вище).
Поверхнева щільність заряду
де dS - нескінченно мала ділянка поверхні.
Лінійна щільність заряду
де dl - Довжина нескінченно малого відрізка.
Розглянемо поле, створюване нескінченною однорідною зарядженою площиною. Нехай поверхнева густина заряду площини однакова і дорівнює σ. Уявімо подумки циліндр з утворюючими, перпендикулярними до площини, і основою S, розташованим щодо площини симетрично. У силу симетрії. Потік вектора напруженості дорівнює. Застосувавши теорему Гауса, отримаємо:
,
з котрого
у системі СДСЕ
Важливо відзначити, що незважаючи на свою універсальність та спільність, теорема Гауса в інтегральній формі має порівняно обмежене застосування через незручність обчислення інтегралу. Однак у разі симетричної задачі рішення її стає набагато простішим, ніж з використанням принципу суперпозиції.
Обчислення напруженості поля великої системи електричних зарядів з допомогою принципу суперпозиції електростатичних полів можна спростити, використовуючи теорему Гаусса. Ця теорема визначає потік вектора напруженостіелектричного поля через довільну замкнуту поверхню
Для довільної замкнутої поверхні Sпотік вектора напруженості через цю поверхню визначається виразом
(1.23)
де проекція вектора на нормаль до майданчика dS(Рис. 1.10); вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок збігається із напрямком нормалі до майданчика ().
Розглянемо сферичну поверхню радіусу r, що охоплює точковий заряд q, що у її центрі (рис. 1.11). Відповідно до формули (1.23) потік вектора напруженості крізь цю поверхню дорівнюватиме:
Цей результат справедливий для замкнутої поверхні будь-якої форми: якщо оточити сферу, що розглядається, довільною замкненою поверхнею, то кожна лінія напруженості, що пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.
Розглянемо тепер загальний випадок довільної замкнутої поверхні, що оточує nзарядів. Відповідно до принципу суперпозиції напруженість поля, створюваного всіма зарядами, дорівнює векторній сумі напруженостей полів, обумовлених кожним зарядом окремо; тому потік вектора напруженості результуючого поля дорівнюватиме:
Відповідно (1.24) кожен із інтегралів, що стоїть під знаком суми, дорівнює . Отже,
(1.25)
тобто. потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри укладених всередині цієї поверхні зарядів, поділеної на електричну постійну.
Застосуємо теорему Гаусса визначення напруженості поля рівномірно зарядженої нескінченної площині. У цьому випадку її поверхнева густина заряду
однакова у будь-якому місці площини. Це означає, що лінії напруженості перпендикулярні площині у точці, тобто. поле зарядженої площини однорідне (рис. 1.12).
Подумки виділимо в просторі циліндр, вісь якого перпендикулярна площині і одна з основ проходить через цікаву для нас точку. Згідно з теоремою Гауса,
З іншого боку, оскільки лінії напруженості перетинають лише підстави циліндра, потік вектора можна виразити через напруженість електричного поля обох основ циліндра, тобто.
Наведемо (без висновку) висловлювання до розрахунку напруженості електростатичного поля, утвореного деякими іншими зарядженими тілами.
Закон взаємодії електричних зарядів – закон Кулона – можна сформулювати інакше, у вигляді так званої теореми Гаусса. Теорема Гауса виходить як наслідок закону Кулона та принципу суперпозиції. Доказ ґрунтується на зворотній пропорційності сили взаємодії двох точкових зарядів квадрату відстані між ними. Тому теорема Гауса застосовна до будь-якого фізичного поля, де діє закон зворотних квадратів і принцип суперпозиції, наприклад гравітаційного поля.
Мал. 9. Лінії напруженості електричного поля точкового заряду, що перетинають замкнуту поверхню X
Щоб сформулювати теорему Гаусса, повернемося до картини силових ліній електричного поля нерухомого точкового заряду. Силові лінії відокремленого точкового заряду є симетрично розташовані радіальні прямі (рис. 7). Можна провести будь-яку кількість таких ліній. Позначимо повне їх число через товщину силових ліній на відстані від заряду, тобто число ліній, що перетинають одиницю поверхні сфери радіуса дорівнює Порівнюючи це співвідношення з виразом для напруженості поля точкового заряду (4), бачимо, що густота ліній пропорційна напруженості поля. Ми можемо зробити ці величини чисельно рівними, належним чином вибравши повну кількість силових ліній N:
Таким чином, поверхня сфери будь-якого радіусу, що охоплює точковий заряд, перетинає те саме число силових ліній. Це означає, що силові лінії безперервні: у проміжку між будь-якими двома концентричними сферами різних радіусів жодна з ліній не обривається і додається жодної нової. Оскільки силові лінії безперервні, така ж кількість силових ліній перетинає будь-яку замкнуту поверхню (рис. 9), що охоплює заряд
Силові лінії мають напрямок. У разі позитивного заряду вони виходять назовні з навколишнього заряду замкнутої поверхні, як показано на рис. 9. У разі негативного заряду вони входять усередину поверхні. Якщо число ліній, що виходять, вважати позитивним, а вхідних - негативним, то у формулі (8) можна опустити знак модуля у заряду і записати її у вигляді
Потік напруженості.Введемо тепер поняття потоку вектора напруженості поля через поверхню. Довільне поле можна подумки розбити на малі області, в яких напруженість змінюється за модулем і напрямом настільки мало, що в межах цієї області поле можна вважати однорідним. У кожній такій області силові лінії є паралельними прямими і мають постійну густоту.
Мал. 10. До визначення потоку вектора напруженості поля через майданчик
Розглянемо, яке число силових ліній пронизує малу майданчик напрямок нормалі до якої утворює кут з напрямком ліній напруженості (рис. 10). Нехай – проекція на площину, перпендикулярну до силових ліній. Так як число ліній, що перетинають однаково, а густота ліній, згідно з прийнятою умовою, дорівнює модулю напруженості поля Е, то
Величина а є проекцією вектора Е на напрямок нормалі до майданчика
Тому кількість силових ліній, що перетинають майданчик, дорівнює
Твір носить назву потоку напруженості поля через поверхню Формула (10) показує, що потік вектора через поверхню дорівнює числу силових ліній, що перетинають цю поверхню. Зазначимо, що потік вектора напруженості, як і кількість силових ліній, що проходять через поверхню, є скаляр.
Мал. 11. Потік вектора напруженості Е через майданчик
Залежність потоку від орієнтації майданчика щодо силових ліній ілюструється на рис.
Потік напруженості поля через довільну поверхню є сумою потоків через елементарні майданчики, на які можна розбити цю поверхню. В силу співвідношень (9) і (10) можна стверджувати, що потік напруженості поля точкового заряду через будь-яку охоплюючу заряд замкнуту поверхню 2 (див. рис. 9), як число силових ліній, що виходять з цієї поверхні, дорівнює При цьому вектор нормалі до елементарних майданчиків замкнутої поверхні слід спрямовувати назовні. Якщо заряд усередині поверхні від'ємний, то силові лінії входять всередину цієї поверхні і пов'язаний із зарядом потік вектора напруженості поля також негативний.
Якщо всередині замкнутої поверхні знаходиться кілька зарядів, то відповідно до принципу суперпозиції будуть складатися потоки напруженості їх полів. Повний потік дорівнюватиме де під слід розуміти алгебраїчну суму всіх зарядів, що знаходяться всередині поверхні.
Якщо всередині замкнутої поверхні електричних зарядів немає або їх сума алгебри дорівнює нулю, то повний потік напруженості поля через цю поверхню дорівнює нулю: скільки силових ліній входить в об'єм, обмежений поверхнею, стільки ж і виходить назовні.
Тепер можна остаточно сформулювати теорему Гауса: потік вектора напруженості електричного поля Е у вакуумі через будь-яку замкнуту поверхню пропорційний повному заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні. Математично теорема Гаусса виражається тією ж формулою (9), де розуміється алгебраїчна сума зарядів. В абсолютній електростатичній
системі одиниць СГСЕ коефіцієнт та теорема Гауса записується у вигляді
У СІ та потік напруженості через замкнуту поверхню виражається формулою
Теорема Гауса широко використовується в електростатиці. У деяких випадках з її допомогою легко розраховуються поля, які створюються симетрично розташованими зарядами.
Поля симетричних джерел.Застосуємо теорему Гаусса до розрахунку напруженості електричного поля рівномірно зарядженого на поверхні кулі радіуса . Будемо для визначеності вважати його заряд позитивним. Розподіл зарядів, що створюють поле, має сферичну симетрію. Тому таку ж симетрію має і поле. Силові лінії такого поля спрямовані по радіусах, а модуль напруженості однаковий у всіх точках, що рівно віддалені від центру кулі.
Для того, щоб знайти напруженість поля на відстані від центру кулі, проведемо подумки концентричну з кулею сферичну поверхню радіусу.
Але цю величину можна висловити за допомогою теореми Гаусса. Якщо нас цікавить поле поза кулею, тобто при тому, наприклад, у СІ і, порівнюючи з (13), знаходимо
У системі одиниць СДСЕ, очевидно,
Таким чином, зовні кулі напруженість поля така сама, як у поля точкового заряду поміщеного в центр кулі. Якщо ж цікавитися полем усередині кулі, тобто при тому, що весь розподілений по поверхні кулі заряд перебуває поза мисленно проведеною нами сферою. Тому поле всередині кулі відсутнє:
Аналогічно за допомогою теореми Гауса можна розрахувати електростатичне поле, створюване нескінченною зарядженою
площиною із щільністю постійної у всіх точках площині. З міркувань симетрії вважатимуться, що силові лінії перпендикулярні площині, спрямовані від неї обидві сторони і мають всюди однакову густоту. Дійсно, якби густота силових ліній у різних точках була різною, то переміщення зарядженої площини вздовж самої себе призводило б до зміни поля у цих точках, що суперечить симетрії системи – такий зсув не повинен змінювати поле. Іншими словами, поле нескінченної рівномірно зарядженої площини є однорідним.
Як замкнута поверхня для застосування теореми Гауса виберемо поверхню циліндра, побудованого таким чином: утворююча циліндра паралельна силовим лініям, а основи мають площі паралельні зарядженій площині і лежать по різні боки від неї (рис. 12). Потік напруженості поля через бічну поверхню дорівнює нулю, тому повний потік через замкнуту поверхню дорівнює сумі потоків через основи циліндра:
Мал. 12. До обчислення напруженості поля рівномірно зарядженої площини
По теоремі Гаусса цей же потік визначається зарядом тієї частини площини, яка лежить всередині циліндра, і СІ дорівнює Порівнюючи ці вирази для потоку, знаходимо
У системі СГСЕ напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини дається формулою
Для рівномірно зарядженої пластини кінцевих розмірів отримані вирази приблизно справедливі в області, що знаходиться досить далеко від країв пластини і не далеко від її поверхні. Поблизу країв пластини поле не буде однорідним і його силові лінії викривляються. На дуже великих порівняно з розмірами пластини відстанях поле зменшується з відстанню так само, як поле точкового заряду.
Як інші приклади полів, створюваних симетрично розподіленими джерелами, можна навести поле рівномірно зарядженої по довжині нескінченної прямолінійної нитки, поле рівномірно зарядженого нескінченного кругового циліндра, поле кулі,
рівномірно зарядженого за обсягом і т. п. Теорема Гауса дозволяє у всіх цих випадках легко розраховувати напруженість поля.
Теорема Гаусса дає зв'язок між полем та його джерелами, у певному сенсі зворотний той, що дає закон Кулона, який дозволяє визначити електричне поле за заданими зарядами. За допомогою теореми Гауса можна визначити сумарний заряд у будь-якій області простору, в якій відомий розподіл електричного поля.
У чому відмінність концепцій далекодії та близькодії при описі взаємодії електричних зарядів? Якою мірою ці концепції можна застосувати до гравітаційної взаємодії?
Що таке напруга електричного поля? Що мають на увазі, коли її називають силовою характеристикою електричного поля?
Яким чином по картині силових ліній можна судити про напрям і модуль напруженості поля в певній точці?
Чи можуть силові лінії електричного поля перетинатись? Аргументуйте свою відповідь.
Намалюйте якісну картину силових ліній електростатичного поля двох таких зарядів, що .
Потік напруженості електричного поля через замкнуту поверхню виражається різними формулами (11) і (12) у системах одиниць ГСЕ та СІ. Як це пов'язати з геометричним змістом потоку, що визначається числом силових ліній, що перетинають поверхню?
Як використовувати теорему Гауса для знаходження напруженості електричного поля при симетричному розподілі зарядів, що його створюють?
Як застосувати формули (14) та (15) до обчислення напруженості поля кулі з негативним зарядом?
Теорема Гауса та геометрія фізичного простору.Подивимося на доказ теореми Гауса з дещо іншого погляду. Повернемося до формули (7), з якої було зроблено висновок про те, що через будь-яку навколишню заряд сферичну поверхню проходить те саме число силових ліній. Цей висновок пов'язані з тим, що відбувається скорочення знаменниках обох частин рівності.
У правій частині виникло через те, що сила взаємодії зарядів, що описується законом Кулона, обернено пропорційна квадрату відстані між зарядами. У лівій частині поява пов'язана з геометрією: площа поверхні сфери пропорційна квадрату її радіусу.
Пропорційність площі поверхні квадрату лінійних розмірів – це відмінна риса евклідової геометрії у тривимірному просторі. Дійсно, пропорційність площ саме квадратам лінійних розмірів, а не будь-якого іншого цілого ступеня, характерна для простору
трьох вимірів. Те, що цей показник ступеня дорівнює точно двом, а чи не відрізняється від двійки хай навіть у мізерно малу величину, свідчить про невикривленості цього тривимірного простору, т. е. у тому, що його геометрія саме евклідова.
Таким чином, теорема Гауса – це прояв властивостей фізичного простору у фундаментальному законі взаємодії електричних зарядів.
Ідея про тісний зв'язок фундаментальних законів фізики з властивостями простору висловлювалася багатьма визначними розумами ще задовго до встановлення самих цих законів. Так, І. Кант за три десятиліття до відкриття закону Кулона писав про властивості простору: «Тримірність відбувається, мабуть, тому, що субстанції в існуючому світі діють одна на одну таким чином, що сила дії обернено пропорційна квадрату відстані».
Закон Кулона і теорема Гауса фактично представляють той самий закон природи, виражений у різних формах. Закон Кулона відбиває концепцію далекодії, тоді як теорема Гаусса виходить з уявлення про силове поле, що заповнює простір, тобто з концепції близькодії. В електростатиці джерелом силового поля є заряд, і пов'язана з джерелом характеристика поля – потік напруженості – не може змінитися у порожньому просторі, де немає інших зарядів. Оскільки потік можна наочно уявляти як сукупність силових ліній поля, то незмінність потоку проявляється у безперервності цих ліній.
Теорема Гаусса, заснована на зворотній пропорційності взаємодії квадрату відстані і принципі суперпозиції (адитивності взаємодії), застосовна до будь-якого фізичного поля, у якому діє закон зворотних квадратів. Зокрема вона справедлива і для гравітаційного поля. Зрозуміло, що це не просто випадковий збіг, а відображення того, що і електрична, і гравітаційна взаємодія розігруються у тривимірному фізичному евклідовому просторі.
На якій особливості закону взаємодії електричних зарядів ґрунтується теорема Гауса?
Доведіть, ґрунтуючись на теоремі Гауса, що напруженість електричного поля точкового заряду обернено пропорційна квадрату відстані. Які властивості симетрії простору використовуються у цьому доказі?
Як геометрія фізичного простору відбивається у законі Кулона і теоремі Гаусса? Яка особливість цих законів свідчить про евклідовий характер геометрії та тривимірності фізичного простору?
Електростатичне поле можна наочно зобразити за допомогою силових ліній (ліній напруженості). Силовими лініяминазивають криві, дотичні до яких у кожній точці збігаються з вектором напруженості Е .
Силові лінії є умовним поняттям і реально немає. Силові лінії одиночного негативного та одиночного позитивного зарядів зображені на рис. 5 - це радіальні прямі, що виходять від позитивного заряду або йдуть до негативного заряду.
Якщо густота і напрям силових ліній по всьому об'єму поля зберігаються незмінними, таке електростатичне поле вважається однорідним (виділення число ліній повинно бути чисельно дорівнює напруженості поля Е .
Число силових ліній позначка dS, перпендикулярну до них, визначає потік вектора напруженості електростатичного поля:
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- Проекція вектора Е на напрямок нормалі n до майданчика dS (рис. 6).
Відповідно, потік вектора Е крізь довільну замкнуту поверхню S
позначка">S не тільки величина, а й знак потоку можуть змінюватися:
1) при формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
3) при виділенні Знайдемо потік вектора Е крізь сферичну поверхню S, в центрі якої знаходиться точковий заряд q.
У цьому випадку позначка Е і n у всіх точках сферичної поверхні збігаються.
З урахуванням напруженості поля точкового заряду формула src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(! LANG:отримаємо
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- алгебраїчна величина, що залежить від знаку заряду. Наприклад, при q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="навколо заряду має довільну форму. Очевидно, що поверхня помітка "Е, що і поверхня S. Отже, потік вектора Е крізь довільну поверхню формула" src=" ="0" align="absmiddle" alt=".
Якщо заряд перебуватиме поза замкненою поверхнею, то, очевидно, скільки ліній увійде в замкнуту область, стільки ж із неї і вийде. В результаті потік вектора Е дорівнюватиме нулю.
Якщо електричне поле створюється системою точкових зарядівформула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Ця формула є математичним виразом теореми Гауса: потік вектора напруженості Е електричного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, які вона охоплює, поділеної наформула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Для повноти опису представимо теорему Гауса ще й у локальній формі, спираючись не так на інтегральні співвідношення, але в параметри поля у цій точці простору. Для цього зручно використовувати диференціальний оператор - дивергенцію вектора, -
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(«набла») -
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
У математичному аналізі відома теорема Гаусса-Остроградського: потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від його дивергенції за обсягом, обмеженим цією поверхнею, -
формула src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Цей вислів є теорема Гауса в локальній (диференціальній) формі.
Теорема Гауса (2.2) дозволяє визначати напруженість різних електростатичних полів. Розглянемо кілька прикладів застосування теореми Гауса.
1. Обчислимо Е електростатичного поля, що створюється рівномірно зарядженою сферичною поверхнею.
Припустимо, що сферична поверхня радіуса R несе у собі рівномірно розподілений заряд q, тобто. поверхнева щільність заряду всюди однакова позначка R від центру сфери подумки побудуємо нову сферичну поверхню S, симетричну зарядженій сфері. Відповідно до теореми Гауса
формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Для точок, що знаходяться на поверхні зарядженої сфери радіусу R, можна за аналогією записати:
виділення">всередині зарядженої сфери, не містить у собі електричних зарядів, тому потік позначка">Е = 0.
Визначимо потік напруженості електростатичного поля зарядів q 1 ,q 2 ,...q n у вакуумі (e=1) через довільну замкнуту поверхню, що оточує ці заряди.
Розглянемо спочатку випадок сферичної поверхні радіусом R, що оточує один заряд +q, що знаходиться в її центрі (рис.1.7).
, де є інтеграл по замкнутій поверхні сфери. У всіх точках сфери модуль вектора однаковий, а сам він спрямований перпендикулярно до поверхні. Отже 
. Площа поверхні сфери дорівнює. Звідси слідує що
.
Отриманий результат буде справедливий і для поверхні S довільної форми, так як її пронизує таку ж кількість силових ліній.
На малюнку 1.8 представлено довільну замкнуту поверхню, що охоплює заряд q>0. Деякі лінії напруженості то виходять із поверхні, то входять до неї. Для всіх ліній напруженості кількість перетинів з поверхнею є непарною.
Як зазначалося в попередньому параграфі, лінії напруженості, що виходять з об'єму, обмеженого замкнутою поверхнею, утворюють позитивний потік Ф е; лінії ж, що входять в об'єм, створюють негативний потік -Фе. Потоки ліній при вході та виході компенсуються. Таким чином, при розрахунку сумарного потоку через всю поверхню слід враховувати лише один (не компенсований) перетин замкнутої поверхні кожною лінією напруженості.
Якщо заряд q не охоплюється замкнутою поверхнею S, кількість силових ліній, що входять в дану поверхню і виходять з неї, однаково (рис.1.9). Сумарний потік вектора через поверхню дорівнює нулю: Ф Е =0.
Розглянемо найзагальніший випадок поверхні довільної форми, що охоплює n зарядів. За принципом суперпозиції електростатичних полів напруженість , створювана зарядами q 1 ,q 2 ,...q n дорівнює векторній сумі напруженостей, створюваних кожним зарядом окремо: . Проекція вектора - результуючої напруженості поля на напрямок нормалі до майданчика dS дорівнює сумі алгебри проекцій всіх векторів на цей напрямок: ,
Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, охоплюваних цією поверхнею, поділеної на електричну постійну e 0 . Це формулювання є теоремою К.Гаусса.
У загальному випадку електричні заряди можуть бути розподілені з деякою об'ємною щільністю, різною в різних місцях простору. Тоді сумарний заряд об'єму V, що охоплюється замкнутою поверхнею, S дорівнює 
і теорему Гауса слід записати у вигляді 
.
Теорема Гауса представляє значний практичний інтерес: з її допомогою можна визначити напруженість полів, створюваних зарядженими тілами різної форми.